?

Log in

No account? Create an account

masterok


Мастерок.жж.рф

Хочу все знать


Previous Entry Share Next Entry
Парадокс Монти Холла
masterok

Представьте, что некий банкир предлагает вам выбрать одну из трёх закрытых коробочек. В одной из них 50 центов, в другой – один доллар, в третьей – 10 тысяч долларов. Какую выберете, та вам и достанется в качестве приза.

Вы выбираете наугад, скажем, коробочку №1. И тут банкир (который, естественно, знает, где что) прямо на ваших глазах открывает коробочку с одним долларом (допустим, это №2), после  чего предлагает вам поменять изначально выбранную коробочку №1 на коробочку №3.

Стоит ли вам менять своё решение? Увеличатся ли при этом ваши шансы получить 10 тысяч?

Это и есть парадокс Монти Холла — задача теории вероятности, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Над этой задачей люди ломают головы с 1975 года.

Парадокс получил название в честь ведущего популярного американского телешоу «Let’s Make a Deal». В этом телешоу были похожие правила, только участники выбирали двери, за двумя из которых прятались козы, за третьей – Кадиллак.

Большинство игроков рассуждали, что после того, как закрытых  дверей осталось две и за одной из них находится Кадиллак, то шансы его получить 50-50.Очевидно, что когда ведущий открывает одну дверь и предлагает вам поменять своё решение, он начинает новую игру. Поменяете вы решение или не поменяете, ваши шансы всё равно будут равны 50 процентам. Так ведь?

Оказывается, что нет. На самом деле, поменяв решение, вы удвоите шансы на успех. Почему?

Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.

Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие — принятие решения игроком о смене двери, второе событие — открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье). Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей — автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие — сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.

Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный — если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.

Монти Холл, продюсер и ведущий шоу Let’s Make a Deal с 1963-го по 1991 год.

В 1990 году эта задача и её решение были опубликованы в американском журнале “Parade”. Публикация вызвала шквал возмущённых отзывов читателей, многие из которых обладали научными степенями.

Главная претензия заключалась в том, что не все условия задачи были оговорены, и любой нюанс мог повлиять на результат. Например, ведущий мог предложить поменять решение только в том случае, если игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора в такой ситуации приведёт к гарантированному проигрышу.

Однако за всё время существования телешоу Монти Холла люди, менявшие решение, действительно выигрывали вдвое чаще:

Из 30 игроков, поменявших первоначальное решение, Кадиллак выиграли 18 – то есть 60%

Из 30 игроков, которые остались при своём выборе, Кадиллак выиграли 11 – то есть примерно 36%

Так что приведённые в решении рассуждения, какими бы нелогичными они не казались, подтверждаются практикой.

Увеличение количества дверей

Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 — козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы — они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей — 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними — 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 1 %.

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений. В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.

Если же вам непонятно все равно, плюньте на формулы и просто проверьте всё статистически. Еще один вариант объяснения:

  • Игрок, чья стратегия заключалась бы в том, чтобы каждый раз менять выбранную дверь, будет проигрывать только в том случае, если он изначально выбирает дверь, за которой находится автомобиль.
  • Поскольку вероятность выбрать автомобиль с первой попытки составляет один к трём (или 33%), то шанс не выбрать автомобиль, если игрок будет менять свой выбор, также равен один к трём (или 33%).
  • Это означает, что игрок, который использовал стратегию менять дверь, выиграет с вероятностью 66 % или два к трём.
  • Это удвоит шансы на выигрыш игрока, чья стратегия – каждый раз не менять свой выбор.

Всё ещё не верите? Предположим, что вы выбрали дверь №1. Здесь представлены все возможные варианты того, что может произойти в этом случае:

6846784990

Если вы оставляете свой первоначальный выбор, вы выигрываете один раз из трёх; если меняете выбор – угадываете два раза из трёх.

Вы по-прежнему не уверены? Давайте проделаем то же самое, только с 50 дверями. Вы выбираете дверь №1.

957357787

А мы открываем остальные 48 дверей, за которыми спрятаны козлы. Вы ещё уверены в своём выборе? Помните, что у вас есть 1 шанс из 50 угадать нужную вам дверь с первой попытки. Здесь действует тот же самый принцип.

645648786

Конечно, игра подразумевает, что вы непременно хотели выиграть автомобиль, а не козла.

Такая вот занимательная математика.

[источники]

Источник перевод для mixstuff

http://forum.masterforex-v.org/index.php?showtopic=9873

http://thebester.ru/blog/science/10250.html

Еще напомню вам что нибудь занимательного и научного: Что такое мирный ядерный взрыв ? или например Красная ртуть — миф или реальность?

Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия - http://infoglaz.ru/?p=34886
Subscribe to  masterok

promo masterok январь 2, 12:00 46
Buy for 300 tokens
Вот так выглядит ушедший от нас 2017 год. А вот кстати, начало 2018 года показывает еще больший трафик, чем декабрь 2017: И вот один из дней - рекордсменов за всю историю журнала тоже уже в 2018 году: Красная цифра - это общее количество уникальных посетителей попавших в блог. В…

Сей парадокс художественно описан Сергеем Лукьяненко в «Недотёпе».

как то вот не читал, надо наверстать

(Deleted comment)
Господа, какой тут парадокс, я Вас умоляю!
Простейшая задачка, не более того. Соглашусь, высокообразованных американцев она может заинтриговать.
Но нам то, нам....

Пол второго ночи- самое подходящее время для объяснения теории вероятности)))

давайте отложим до завтра :-)

После открытия двери ведущим (которую не выбирал игрок и за которой нет авто),
меняй выбор или не меняй - всё равно - шанс 50% на автомобиль.
Парадокс состоит в практике, основанной на интуиции выигравших авто игроков?
Но интуиция вроде не описывается математически и в этом тексте тоже).
Вообще неправильно, по-моему, зачем-то сравнивать вероятности 2х разных задач - первую - до открытия двери ведущим, и вторую - после открытия. Ведь смысла нету - задача (выбор авто) то одна, если ведущий всегда открывает дверь с козой - это всегда выбор из 2х дверей..

Edited at 2013-09-18 09:39 pm (UTC)

ну вот говорят, что в этом то и парадокс, что не 50/50 :-)

По моему идет подмена/подтасовка понятий. Объяснение имеет логическую ошибку, и запутывает читателя.
Шанс 50/50
Завтра посчитаю на свежую голову. Если не прав - отпишусь.

Не выдержал до завтра. Запустил Эксель, проверил.
Блииин. Был не прав. Действительно шансы вдвое выше. 2/3 против 1/3 !
В тихом ахуе...

"Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3"
неверно, фактически игрок делает второй выбор, и выбирает ту же дверь/коробку, так что выигрыш в любом случае 1/2

Раскажите лучше про «квантовый ластик с отложенным выбором» вот это парадокс настоящий.

Спросили у блондинки "Какая вероятность, что вы встретите динозавра на Красной площади?" "50/50 , - ответила блондинка , - либо встречу ,либо не встречу")))

Есть такой сериал "Числа" - там эта задача была визуализирована ;)

(Deleted comment)
В случае с рулеткой согласен, но после открытия одной козы, они же не прячут автомобиль заново. Посмотрите пример с 99 козами. Тоже считаете, что шансы равны, после открытия дверей с 98 козами?

(Deleted comment)
(no subject) (Anonymous) Expand
(Deleted comment)
Английская Википедия.

Парадокс Монти Холла подробно разобран в ангийской Википедии.

Речь о следующем.
Ответ о вероятностях завист от стратегии ведущего.

Рассмотрим, к примеру, стратегию "адский Монти". Монти предлагает поменять выбор тогда и только тогда, если игрок предыущим ходом угадал выигрыш.
Ясно, что при такой стратегии ведущего менять выбор ни в коем случае нельзя - это будет означать 100% вероятность проигрыша.

Если добавить в условие задачи КОРРЕКТНОЕ описание стратегии ведущего, то можно получать различные вероятности в засисимости от этих самых условий. В том, числе, и обсуждаему цифру 2/3.
Условие КОРРЕТНОЙ задачки, приводяще к ответу "2/3", назовем "условием 2/3".

Так вот, в корректной задачке Монти Холла с "условием 2/3" любому человеку сразу же становитя интуитивно ясно, что вероятности "2/3" и "1/3". "Парадокс" исчезает. "Парадокс" в кавычках, потому что никакого парадокса в этой задаче никогда и не было.

Edited at 2013-09-19 04:51 pm (UTC)

и какова же эта КОРРЕКТНАЯ задача?))

Интересно, а как будет работать вероятность в случае с 4 дверьми и при то что двери будут открывать не сразу а в два шага. Тоесть
1* 2 3 4
* - выбранная дверь
ведущий открывает 2 дверь, мы меняем выбор на 3.
1 3* 4
ведущий открывает 4 дверь. как же нам тогда поступать? опять менять выбор возвращаясь к двери у которой будет вероятность 1/4 или оставаться на выбранной двери?

спасибо за задачку, мне кажется так: на первом шаге вероятность найти авто за 1-й дверью 1/4, за 3 и 4-й - 3/8. Второй шаг рассматриваем независимо от 1-го - шансы найти автомобиль за 1-й дверью - 2/3, а за 3-й - 1/3. Умножаем вероятности, получаем для 1-й двери - 1/6, для 3-й - 1/8. В сумме не 1, наверное не правильно я делаю, но в целом получается то для 1-й двери вероятность больше, т.е. да, надо опять менять выбор. Но уверенности нет.

А теперь самое интересное:
Предположим, что есть второй игрок, который выбрал другую дверь.

И вот и вы, и он соглашаетесь изменить свой выбор. УВЕЛИЧИВАЯ свои шансы, следую логики этой статьи. Получается, что просто поменявшись дверями друг с другом, вы ОБА увеличили свой шанс на победу!
Как объясняется этот парадокс?

Никак. Это невозможно в условиях этой задачи. Выбор двери предшествует тому, что ведущий открывает другую дверь без автомобиля. Вводя второго игрока, мы лишаем ведущего возможности всегда выбрать дверь с козой и смещаем к чертям собачьим все вероятности. Это просто другая задача. Информационные потоки этой задачи нельзя сложить с самими собой без "помех".

(Deleted comment)