?

Log in

No account? Create an account

Предыдущий пост | Следующий пост

Парадокс дихотомии



Отправляясь куда бы то ни было, необходимо пройти сначала половину пути, затем половину оставшегося расстояния, и так до бесконечности. Отсюда неминуемо следует вывод: достичь конечного пункта в принципе невозможно, а стало быть, невозможно и само движение

Этот парадокс носит название парадокса дихотомии. Авторство приписывается древнегреческому философу Зенону. Предполагается, что он был сформулирован в качестве доказательства единичности вселенной, и того, что изменение, в том числе и движение – невозможно (как полагал учитель Зенона Парменид).

Люди интуитивно отвергали этот парадокс на протяжении многих веков. С математической точки зрения, решение, сформулированное в XIXвеке, состоит в том, чтобы признать, что половина плюс одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна шестнадцатая и т.д. составляет единицу. Это все равно, что сказать: ноль целых и девять в периоде равно единице.

Однако, это теоретическое решение фактически не дает ответа на вопрос, как объект может достичь конечной точки своего движения. Решение этой задачи является более сложным и до сих пор не вполне понятным, если опираться на теории XX столетия, которые отрицают бесконечную делимость материи, времени и пространства.





Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.





Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.


Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

[источники]
источники
http://mixstuff.ru/archives/137766
https://elementy.ru/trefil/53/Paradoks_Zenona



Вот еще какие парадоксы мы с вами обсуждали. Вот Парадокс Монти Холла, а вот Парадокс дней рождения и Парадокс Пето. Вспомним еще Парадокс Паррондо и парадокс муравья на резиновом тросе

Метки:

Subscribe to  masterok

Posts from This Journal by “Задача” Tag

  • А вы решите задачку из учебника второго класса?

    «Для участия в выставке было отобрано 49 собак. Маленьких собак среди них было на 36 больше, чем крупных. Сколько маленьких собак участвовало в…

  • Хитрая математика

    Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд. Это работает потому, что…

  • Просто математика

    Банально конечно, но для осознания интересно... Чем дольше они живут на этом свете вместе, тем больше становится часть времени, что они прожили…

promo masterok january 2, 12:00 43
Buy for 300 tokens
Без сомнения вопрос умирания ЖЖ беспокоит многих блогеров, которым нравится или уже нравилась эта площадка. Его начали задавать еще в конце 2015 года, если мне не изменяет память. И знаете что я заметил, очень часто возгласы "ЖЖ умер, я ухожу" высказывают блогеры, чьи журналы давно…

Comments

al_lex_ey
Jan. 16th, 2018 06:13 pm (UTC)
Лучше пишите про ваши биткойны, на философии много бабла не поднимете.
masterok
Jan. 16th, 2018 06:24 pm (UTC)
будет, будет, не торопитесь :-)
igorek44
Jan. 16th, 2018 06:23 pm (UTC)
В бар заходит бесконечное количество математиков. Первый из них просит налить пинту пива, второй просит налить полпинты, третий — налить четверть пинты, как тут бармен говорит: «Стоп-стоп, ребята, я уже знаю этот прикол. Вот вам на всех две пинты и делите как хотите».
masterok
Jan. 16th, 2018 06:24 pm (UTC)
прикольно
77dmk
Jan. 17th, 2018 04:27 pm (UTC)
Шикарно!
fill_1970
Jan. 16th, 2018 06:51 pm (UTC)
Дихотомию Зенона, Ньютон разрешил придумав математику дифференциального исчисления. Дифуры ...
icey_isee
Jan. 16th, 2018 07:11 pm (UTC)
Зенон прав- движения, как достижения цели, не существует пока существует дихотомия. Точнее, движение сублимируется в дихотомию и в этом случае пересечение комнаты невозможно. Типа вы будете стоять упершись лбом в стенку, продолжая умом производить расщепления. Поэтому чтобы пересечь комнату, надо остановить дихотомию.
nektosteen
Jan. 16th, 2018 08:12 pm (UTC)
Надо её снять. ))))
icey_isee
Jan. 16th, 2018 08:26 pm (UTC)
Комнату? )
nektosteen
Jan. 16th, 2018 08:47 pm (UTC)
Дихотомию.
В данном случае имеем два (якобы) противоположных утверждения. Надо просто снять противоположность, используя категорию более высокого уровня, например "движение".
bigdrum
Jan. 16th, 2018 08:03 pm (UTC)
Если благородному дону ничего не говорит понятие открытого и замкнутого множества, мне жаль благородного дона...
icey_isee
Jan. 16th, 2018 08:23 pm (UTC)
Это вы мне? )
Любое ограничение создаёт замкнутое множество. Так что комната - это некая ограниченная величина. Но даже в условиях ограничения дихотомия может быть бесконечной, потому что она относится не к замкнутому множеству, а операциям с ним. Типа того, что воду в ступе можно толочь бесконечно, пока ступа не развалится или вода не испарится )

Вывод: всё в ваших головах. Хотите пересечь комнату- идите и всё получится. Хотите мозги полоскать- процесс вечен, пока не помрёте.
bigdrum
Jan. 16th, 2018 08:38 pm (UTC)
Я же говорю, вы неправильно понимаете открытость и замкнутость множества. К примеру, множество координат куба размером в один метр, выражаемых рациональными числами, очевидно, бесконечно. Оно становится замкнутым, если разрешить нулевое и единичное значение координат, и открытым, если запретить нулевое и единичное значение координат. Но это все равно метровый куб. А если взять множество координат этого куба, состоящих из действительных значений, то оно станет несчетным, в отличие от счетного бесконечного множества рациональных координат. И несмотря на большую мощность, оно все равно будет помещаться в куб целиком. :)
icey_isee
Jan. 16th, 2018 08:59 pm (UTC)
А вы не понимаете того, о чём я пишу. Вот скажем почему некоторые ученые выглядят как не от мира сего? ) А потому что существует очень-очень много способов описания одного и того же. Типа вашего пояснения с множествами. И вот когда сознание начинает погружаться в эти описания, оно утрачивает связь с реальностью. Живёт в своих раскладах, у которых одна ценность- ещё один вариант описания реальности.

Только вот ценность ли это?.. Какие проблемы человечества можно решить с помощью этих описаний? Если вы будете объективны, то обнаружите, что даже в лечении насморка ничего особо не поменялось. Как были болезни, так и остались. Или вы может счастливее стали? Вы может быть живёте в радости и с удовольствием? ) Вы как веками решали ваши проблемы мордобоем, так и решаете по сию пору. Так что ваши открытые-замкнутые множества- это бесполезная вода в ступе. Вы от реальности уходите.
djonsmitt
Jan. 16th, 2018 08:20 pm (UTC)
я вот чувствую что этот Зенон в чем то наколол но доказать не могу)))
Serge Perovsky
Jan. 17th, 2018 07:37 pm (UTC)
Фокус прост: разбить некую величину мысленно на бесконечное число частей и на этом основании утверждать, что она бесконечно велика.
Но бесконечно болтать можно о любом предмете, независимо от его размеров.
djonsmitt
Jan. 17th, 2018 09:58 pm (UTC)
сама идея мне понятна.. но мысль что движения не существует кажется абсурдной и не правильной, возникает желание ее опровергнуть..
но вы правы - болтать можно бесконечно, особенно если это касается философии)
elgreco
Jan. 16th, 2018 08:43 pm (UTC)
С позиции квантовой неопределённости, ваша позиция по достижению конечной точки неопределена.

Поэтому вы не приходите в конечный пункт, а просто пересекаете комнату, прервав процесс в некой произвольной точке, обязательно не совпадающей с желаемой.
elgreco
Jan. 16th, 2018 08:46 pm (UTC)
Более того — исходя из этого же принципа, конца комнаты достигнете не вы. Это будет другой квантовый объект, т.к. фундаментальные принципы запрещают сушествование двух строго одинаковых объектов «где бы то ни было». А т.к. современная физика оперирует пространственно-временным континуумом, то становится неважно, что эти двое «вы» находятся в разных моментах времени — и принцип следует трактовать также, как «когда бы то ни было».

Edited at 2018-01-16 08:47 pm (UTC)
elgreco
Jan. 16th, 2018 08:59 pm (UTC)
Наконец, с точки зрения эзотерики…

исторический ракурс:
[Spoiler (click to open)]
В античности на равных существовали две основополагающие концепции:
а) материя первична, дух вторичен
б) и наоборот, дух первичен, а материя вторична
Вторую парадигму донесли до XX-го века тибетцы, «вскрытые» для всего остального мира Рерихом, а потом китайцами в практически неизменном виде.


…никакого материального мира просто не существует: есть только психические процессы неизмеримой точки, которые приводят эту точку (ваше «Я») к иллюзорному восприятию собственной неполноценности, как обстоятельств материального мира вокруг.

Если представить совокупность этих точек согласно происхождению [друг от друга], то получится дерево, перемещение по связям которого — а следовательно, и перемещения из одной материальной иллюзии в другую — попросту мгновенны.

При этом, если передвигаться с листа на лист по мнимому пространству, то последовательная смена впечатлений создаёт иллюзию перемещения.

Доказывается всё это практиками «пятицветных лучей»: в определённом состоянии человек якобы способен увидеть материальный мир в форме эманаций собственных энергий.

И некоторые блоггеры прямо здесь, в жж, даже умеют это делать…

Edited at 2018-01-16 09:00 pm (UTC)
elgreco
Jan. 16th, 2018 09:04 pm (UTC)
P.s. причем, с точки зрения философии, подобная (эзотерическая) трактовка действительно верна — ибо движение есть свойство, определяемое разумом. Нет разума — нет движения: а есть лишь хаотичные изменения волновой функции квантового объекта, которые некому трактовать…

Edited at 2018-01-16 09:04 pm (UTC)
271200
Jan. 16th, 2018 09:14 pm (UTC)
парадоксов не бывает.
бывают не правильные вводные задачи.
forosenko
Jan. 16th, 2018 11:53 pm (UTC)
Да что там комната? Человек и шага сделать не сможет!

Для того что бы сделать шаг, надо сперва сделать пол шага, затем четверть шага, затем 1/8 шага, затем 1/16... 1/256... 1/8196

Очень скоро человек придёт в ступор от невозможности измерения таких малы величин и застрелится.

Значит ни один человек никогда не сделает ни одного шага. Человечество ждёт погибель! Ведь ни купить еды, ни в туалет сходить!

Зачем я это узнал?! Как жить дальше?

А почему дихотомия? Можно ведь разделить длину комнаты (шага) на три части, 16 или 33. Тогда пересечь её будет ещё сложнее!
nepuc
Jan. 17th, 2018 04:38 pm (UTC)
Демагогия, не более. К тому же уже было.
v_lechenko
Jan. 17th, 2018 05:35 pm (UTC)



По взвихренному праху
слышен топот бахил:
Все никак черепаху
не догонит Ахилл(с)
В.Виноградов

А если серьезно то физики решили тот же парадокс Зенона -определив что движущееся тело в любой момент времени хоть на полангстрема а пройдет
chertex
Jan. 18th, 2018 04:38 pm (UTC)
Это говорит лишь о том, что всякая теория неподтверждённая практикой есть игра фантазии и не более того.

Links

продажа кабеля в Москвеофисные переезды в Москвенемецкие кухни Nolte (Нольте)купить силовой кабель

Календарь

February 2018
S M T W T F S
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728   

Метки

Powered by LiveJournal.com